Note del corso

Richiami su: insiemi, numeri, funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive e invertibili

Cenni sui campi, Rⁿ come spazio vettoriale reale numerico.

Numeri complessi: operazioni, inverso, parte reale e parte immaginaria, coniugio, modulo.

Numeri complessi: forma polare, prodotti, quozienti, potenze.

Numeri complessi: radici n-esime, radici dell'unità. Cⁿ come spazio vettoriale complesso numerico. Matrici: somma e moltiplicazione scalare.

Polinomi: coefficienti, grado, somma e prodotto, funzioni polinomiali, divisione con resto, zeri, molteplicità, zeri razionali di polinomi interi, principio di identità dei polinomi, teorema fondamentale dell'Algebra.

Prodotto di matrici righe per colonne.

Proprietà delle matrici, trasposta, matrici invertibili.

Sistemi lineari: forma matriciale, soluzioni, spazio delle soluzioni, sistemi omogenei, sistemi equivalenti, matrici e sistemi a gradini. Risoluzione dei sistemi lineari a gradini. Parametri liberi.

Algoritmo di Gauss per trasformare una matrice qualsiasi in una matrice a gradini.

Risoluzione dei sistemi lineari col metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi dipendenti da parametri.

Spazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare.

Dipendenza e indipendenza lineare in K^m, rango di una matrice, Teorema di Rouché-Capelli.

Sottospazi vettoriali, teorema di struttura per un sistema lineare omogeneo, sottospazio vettoriale generato da vettori (span).

Spazi vettoriali finitamente generati, basi di spazi vettoriali, componenti di un vettore rispetto ad una base, base canonica di Kⁿ.

Dimensione.

Rango come dimensione. Alcuni calcoli con le basi: equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare, rango di un'applicazione lineare.

Generatori per l'immagine di un'applicazione lineare. Isomorfismi di spazi vettoriali.

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare, classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita, matrici di applicazioni lineari rispetto a basi del dominio e del codominio.

Matrice di una composizione, matrice di un isomorfismo, matrice del cambio di base. Calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss.

Cambio di base per applicazioni lineari. Matrici simili. Calcolo del nucleo e dell'immagine in coordinate. Teorema della dimensione.

Determinante, matrici triangolari, calcolo mediante riduzione a gradini, cofattori, formule di Laplace (senza dimostrazioni).

Teorema di Binet (senza dimostrazione), formula per la matrice inversa, teorema di Cramer.

Calcolo del rango col determinante. Determinante come funzione multilineare. Determinante di un endomorfismo. Spazio delle applicazioni lineari e degli endomorfismi, isomorfismo con lo spazio delle matrici. Introduzione alla diagonalizzazione di endomorfismi. Autovalori e autovettori.

Polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Autospazio. Teorema di diagonalizzazione (senza dimostrazione). Metodo per diagonalizzare un endomorfismo.

Forme bilineari, prodotti scalari, forma bilineare associata ad una matrice, matrici simmetriche definite positive, matrice di una forma bilineare rispetto ad una base.

Calcoli mediante basi ortonormali. Completamento della base ortonormale. Sottospazi vettoriali ortogonali e complemento ortogonale.

Matrici ortogonali e ortogonali speciali. Endomorfismi autoaggiunti. Autovalori di matrici simmetriche reali. Teorema spettrale.

Elementi di Geometria Affine. Teorema di struttura per sistemi lineari. Equazione vettoriale, parametrica e cartesiana di un sottospazio affine. Posizione relativa di rette e piani.

Elementi di Geometria Euclidea, distanza tra punti. Distanza tra punto e iperpiano affine, angolo tra due rette. Isometrie, rototraslazioni del piano Euclideo. Prodotto vettoriale in R³.