Note del corso

Richiami su: insiemi, numeri, funzioni

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive e invertibili

Cenni sui campi, Rⁿ come spazio vettoriale numerico reale.

Numeri complessi: operazioni, inverso, parte reale e parte immaginaria, coniugio, modulo.

Numeri complessi: forma polare, prodotti, quozienti, potenze, radici.

Polinomi, funzioni polinomiali, operazioni, algoritmo per la divisione.

Cenni sulle equazioni polinomiali, molteplicità degli zeri di un polinomio, zeri razionali di un polinomio intero, Principio di identità dei polinomi, Teorema fondamentale dell'Algebra.

Spazi vettoriali numerici complessi. Matrici: somma, moltiplicazione di una matrice per uno scalare, prodotto righe per colonne, matrice trasposta.

Matrici diagonali e matrici invertibili.

Sistemi lineari: forma matriciale, soluzioni, spazio delle soluzioni, sistemi omogenei, sistemi equivalenti.

Matrici e sistemi a gradini. Risoluzione dei sistemi lineari a gradini. Parametri liberi.

Operazioni elementari sulle matrici. Algoritmo di Gauss.

Sistemi lineari arbitrari, metodo di eliminazione di Gauss, parametri liberi, sistemi lineari con infinite soluzioni.

Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

Spazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, vettori proporzionali.

Dipendenza e indipendenza lineare in K^m, rango di una matrice, calcolo del rango col metodo di Gauss, Teorema di Rouché-Capelli.

Sottospazi vettoriali, spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, Span e generatori, basi di spazi vettoriali finitamente generati, teorema di esistenza delle basi per spazi vettoriali finitamente generati.

Componenti di un vettore rispetto ad una base.

Invarianza del numero di vettori di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Spazio delle colonne e spazio delle righe di una matrice. Rango come dimensione dello spazio delle colonne o delle righe.

Equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

Completamento della base.

Applicazioni lineari. Applicazione lineare associata ad una matrice.

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare.

Teorema della dimensione. Isomorfismi di spazi vettoriali. Invarianza della dimensione.

Applicazioni lineari associate a matrici.

Calcolo della matrice inversa col metodo di Gauss.

Teorema di determinazione di un'applicazione lineare, classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita, matrici di applicazioni lineari rispetto a basi del dominio e del codominio, classificazione delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici.

Matrice di un'applicazione composta, matrici di isomorfismi, matrice del cambio di base. Cambio di base per applicazioni lineari e per endomorfismi.

Determinante: definizione ricorsiva, prime proprietà, calcolo col metodo di Gauss.

Determinante: formule di Laplace, Teorema di Binet, formula per la matrice inversa, Teorema di Cramer. Calcolo del rango di una matrice mediante il determinante (Teorema di Kronecker).