5/12/2016   Classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio.

Glissosimmetrie. Autovalori di un automorfismo ortogonale. Classificazione delle matrici ortogonali 2x2. Una matrice ortogonale ha determinante 1 o -1. Isometrie dirette ed inverse, qualche semplice esempio. Teorema di Eulero sulle isometrie dirette di E^3, diverse dall' identita`, dotate di un punto fisso. Rototraslazioni.


6/12/2016   Prodotti scalari hermitiani e nozioni correlate.

Definizione di prodotto scalare hermitiano. Il p.s.h. standard in C^n. Spazi vettoriali unitari. Norma e sue proprieta`. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Ortogonalita` tra vettori e tra sottospazi. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, e sue conseguenze. Dimensione dell' ortogonale di un sottospazio. Formula di polarizzazione. Endomorfismi unitari e loro principali proprieta`. Matrici unitarie. La matrice che rappresenta un endomorfismo unitario rispetto ad una base ortonormale di C^n e` unitaria.


7/12/2016   Forme bilineari.

Definizione di forma bilineare, in particolare forma bilineare simmetrica. Matrice associata ad una forma bilineare su V rispetto ad una base di V. Tale matrice individua completamente la forma bilineare di partenza. Relazione tra le matrici che rappresentano rispetto a basi diverse la stessa forma bilineare. Matrici congruenti. La congruenza e` una relazione di equivalenza nell' insieme di tutte le matrici quadrate nxn. Due matrici nxn rappresentano rispetto a basi diverse la stessa forma bilineare su V se e solo se sono congruenti. Due matrici congruenti hanno lo stesso rango. Rango di una forma bilineare. Forme bilineari non-degeneri e degeneri. Se b:VxV -> K e` una forma bilineare non-degenere, allora per ogni vettore v non nullo esiste un vettore w tale che b(v,w) e` non nullo. Vettori ortogonali rispetto ad una forma bilineare simmetrica. Sottospazio ortogonale. Vettori isotropi. Se v e` un vettore non isotropo rispetto alla forma bilineare b, detto U:=Span(v) si ha che V e` la somma diretta di U con il suo ortogonale.








Last modified: Wednesday, 7 December 2016, 2:56 PM